Segi tiga Pascal

Contoh paling ringkas bagi teorem binomial ialah rumus x + y {\displaystyle x+y} kuasa dua:

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\!}

Pekali binomial 1, 2, 1 yang muncul dalam pengembangan ini serupa dengan baris segi tiga Pascal (lihat rajah sebelah). Pekali bagi kuasa-kuasa x + y {\displaystyle x+y} yang lebih tinggi mengikuti baris-baris segi tiga Pascal yang seterusnya:

( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 , {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\!} ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 , {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\!} ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 , {\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\!} ( x + y ) 6 = x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 x y 5 + y 6 , {\displaystyle (x+y)^{6}=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\!} ( x + y ) 7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7 . {\displaystyle (x+y)^{7}=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\!}

Teorem binomial boleh digunakan pada kuasa sebarang binomial. Contohnya,

( x + 2 ) 3 = x 3 + 3 x 2 ( 2 ) + 3 x ( 2 ) 2 + 2 3 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8. {\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}

Untuk suatu binomial yang melibatkan penolakan, teorem ini boleh digunakan selagi mana sebutan kedua dijadikan negatif. Kesannya sebutan-sebutan lain dijadikan negatif ketika pengembangan:

( x − y ) 3 = x 3 − 3 x 2 y + 3 x y 2 − y 3 , {\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3},\!}